HMF 3 - Lösung
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Rechteck einzeichnen
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Maximaler Flächeninhalt
Damit der Flächeninhalt maximal ist müssen die Bedingungen gelten \(A'(x)=0\) und \(A''(x) < 0\).
\(\\\)
Notwendige Bedingung
\(\quad \begin{array}{ r c l l l } A(x) & = & x \cdot f(x) \\[8pt] & = & x \cdot \left(24 - \frac{1}{6}x^2\right) \\[8pt] & = & 24x - \frac{1}{6}x^3 \\[18pt] A'(x) & = & 24 - \frac{1}{2}x^2 \\[8pt] 0 & = & 24 - \frac{1}{2}x^2 && \bigl| + \frac{1}{2}x^2 \\[8pt] \frac{1}{2}x^2 & = & 24 && \bigl| \cdot 2 \\[8pt] x^2 & = & 48 && \bigl| \sqrt{\dots} \\[8pt] x & = & \sqrt{48} \; < \; \sqrt{49} \; = \; 7 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Hinreichende Bedingung
\(\quad \begin{array}{ r c l } A''(x) & = & -x \\[8pt] A''\left(\sqrt{48}\right) & = & -\sqrt{48} < 0 \\[8pt] \end{array} \)
\(\\\)
Bei \(\; x \; = \; \sqrt{48} \; < \; 7 \;\) liegt ein Maximum vor.
\(\\\)